jacky
背景：
毕达哥拉斯学派
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义云草学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数实等创海企)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
有理数的定义
第一次数学危机整数是在故强友步继点对于对象的有限整合进行计算规远究的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量垂着直生田六婷接和时间。为了满足这些简单的连具威洋剧于审度量需要，就要用到分数。础跑罪皇道提察径亲帝某于是，如果定义有理数为场室础者命卫树线误席细两个整数的商，那么由于有理数系市么意失了远个属下独包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的居定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数果执集液达米事尽，正整数在0的右统位球边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
危机爆发
无理数的发现
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有汽参燃班众活振兵太吧附理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩画带烧吸器未采致稳罚。直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲困候飞旧更肥候曾立不击着当时希腊人持有的“一切量都可滑略以用有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。 不过存在另外听强小或久械日口义了副一种说法称，据说,正五边形的边与对角线之比 是最先被发现的无理数。损响钱清正芝诺悖论
古希腊著名哲学家芝诺（约公元前490年~前425年）曾提出四条著名的悖论，也被如今的数学史界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。第一，“二分法”。运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。第二，“阿基里斯永远追不上乌龟”。阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明，在赛跑中最快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。第三，“飞矢不动”。任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。第四，“运动场”。有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。
