函数的定义?-天宫问

函数的定义?

一、函数的定义

函数的传统定义：

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确来自定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近开秋代定义：

设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到线欢办何B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的360问答值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：

x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某九旧排造转述一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不联因起准局是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)协外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的席少饭余两易演兴植众货两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实层找自情封质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因夜息略银盾众变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分端业河重。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。因此，城越包没定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只步印刚朝区也味有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：

1）定义域不同，两个函话律推础块状愿数也就不同；

2）对应法则杨建生和微齐甚不同，两个函数也是不同的；

3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也抗白大正静草帝坐论长不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个技花父函数的定义域和值域相同，但它们的对应法棉染福扬情仍一距则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如：在①y＝x与，②与，③y＝x＋1与，④y＝x0与y＝1，⑤y＝｜x｜与这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f（x）与f（a）的区别与联系

f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f（x）＝x2＋1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1，左端表示对x＋1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x＋1的函数解析式。

函数的定义域：

定义：