如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD于点设运动时间为，解答下列问题：（1）当t为何值时，是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为，试确定S与t的函数关系式．-天宫问

如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD于点设运动时间为，解答下列问题：（1）当t为何值时，是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为，试确定S与t的函数关系式．

(1)∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1，

过P作PM⊥AO，

∴AM=12AO=52，

∵∠PMA=∠ADC=90∘，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ACD，

∴APAC=AMAD，

∴AP=t=258，

②当AP=AO=t=5，

∴当t为258或5时，△AOP是等腰三角形；

(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=12CD=12AB=3cm．

由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，

∴△DOP≌BOE，

∴BE=PD=8−t，

则S△BOE=12BE⋅OH=12×3(8−t)=12−32t.

∵FQ//AC，

∴△DFQ∽△DOC，相似比为DQDC=t6，

∴S△DFQS△DOC=t236，

∵S△DOC=14S矩形ABCD=14×6×8=12cm2，

∴S△DFQ=12×t236=t23，

∴S五边形OECQF=S△DBC−S△BOE−S△DFQ=12×6×8−(12−32t)−t23=−13t2+32t+12；

∴S与t的函数关系式为S=−13t2+32t+12；

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