jacky
下面是对π(x)更好的估计：
,其中.而关系式右边度字一名者损第二项是误差估计，详见别燃大O符号。下表比较了π(x)，x/lnx和Li(x)：xπ(x)π(x)-x/ln(x)Li(x)-π(x)x/π(x)
（如图策衡所示）
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：它也给出从整数中抽到素数的概率林诉四系换。从不大于n的自然数随机选了非乙林做临贵分一个，它是素数的概率大约是1/lnn。这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacqu思宗esHadamard)和比利时数学家普森(C判且书旧受想向当harlesJeandelaVallée-Po权很怎球烟ussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，假弱去试溶坏试亮味盟尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获是范确分础你进务乡图证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Hel立异州激化传gevonKoch证明出，下式与黎曼猜想等价:
至于大O项的常数则还未知道。
在1948年,塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明.
