jacky
．（2012•德州）讲置孔周振仍如官答如图所示，现有一张边批后景里让比请假里长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交D余从盐条你浓给C于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点：
翻折变换（折叠问题）；二证认安次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析式技棉云七花乡久办德个：
（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）宗危首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出P白象病D+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进服货乐点刘眼变而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．
解答：
（1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又优械底孙天证如尼指溶∵∠EPH=∠EBC研类成直=90°，
∴∠EPH﹣∠副EPB=∠EBC﹣∠E够失境每加视冲BP．
即∠PBC=∠BPH．
村需富酸代又∵AD∥BC，
∴∠APB=怎∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，克演传过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
委进击县负班位到念由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，B经方机P=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得，
．
∴
．
又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴
．
即：
．
配方得，
，
∴当x=2时，S有最小值6
