jacky
两个平面平行，在一个平面内的任意一条360问答直线平行于另外一个平面。
证明：设α∥β，a⊂α，则a∥β
吧矿居才船∵α∥β
∴α与β无交点
又∵a⊂α
∴a与β无交点
即a∥β两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。
如果交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。所以交线必定平行。两个平面平行，和一个平面湖资其垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）
已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β
证明：先证明l与β有交点。若l∥β
∵l⊥α
∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。
设l∩α=A，l∩β=B
在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A
因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。
设与β的交线为b，由定理2可知a∥b
∵l⊥α，a⊂α
∴l⊥a
∴l⊥b
再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l兰检声⊥d
明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推和马出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛延盾
∵l与β内相交直线b、d都垂直
∴l⊥β两个平行平面的垂线平行或重提们粮铁合。
证明：重合的情况很容易证，平行的情况可以根据定理顶京搞建总临准限尔3先判定一条直线与两个平面都垂直，然后根据线面垂直的性质得到两条直线平行。三个平行平面截两条直线，形成你司失宜英的对应线段成比例。
已知：α∥β∥γ，直线m分别与三个平面相交于A、B、C，直线n分别与三个平面相交于D、E、F。
求证：AB:BC=DE:EF
证明：连接AD、CF、AF，设AF∩β=O，连接BO、EO
项花采危则陈饭望施∵α∥β，平面ADEO截α和β的交线分别为AD、EO
∴AD∥EO（定理2）
在△ADF中，∵AD∥EO
∴AO:OF=DE:EF
同理，在△AFC中，有AO:OF=AB:BC
∴AB:BC=DE:EF平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β
求证：AB=CD
证明：连接AD、BC
由线溶衡青面垂直的性质定理蒸际背施考衡师可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD
∵平面A把助变极确BCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β
∴AD∥BC计效立养病测第程氢源（定理2）
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
已知：P是平面α外一点
求证：过P有且只有一个平面β∥α
证明日质细算：
先证明存在性。在α内任意作两条相交直线双钟离直注盾她马迅a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α
再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l训⊥β1且l⊥β2。
再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。
两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。
