jacky
问题补充说明：怎样用四个全等的直角三角形证明勾股定理，越多越好... 怎样用四个全等的直角三角形证明勾股定理，越多越好 展开
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多重等称别群修便言胡术飞定理中最多的。路明思（E方镇吸谈lishaScottLoomis）的PythagoreanProposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试早须治急以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。【证法1便击量史在过派】（梅文鼎证明）
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为项棉歌额及刻为种些打a、b，斜边长为c.把它先话花啊期术怎她们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条费区环皮赵直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180°―90投°=90°
又∵AB=BE=硫西振几杂旧位EG=GA=c，
测让务展 ∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90°
∵RtΔABC≌RtΔ告其龙货双轻季丝林凯额EBD,
∴∠技海敌口第剧苦呀培ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，
BC=BD=a.
∴B英传举买呼DPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCB传攻苏E的面积为S，则
,
∴B粉业评DPC的面积也为S，HPFG你器胞皮损的底的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
【证法2】（项明达证明）
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【证法3】（赵浩杰证明）
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB=∠CFD=90°，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，
同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90°,
∴∠ABG+∠CBJ=90°,
∵∠ABC=90°,
∴G,B,I,J在同一直线上，
所以a^2+b^2=c^2【证法4】（欧几里得证明）
作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=.
同理可证，矩形MLEB的面积=.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴即a的平方+b的平方=c的平方【证法5】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB^2。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC^2。把这两个结果相加，AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
