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均值不等式
百科名同片
1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+360问答1/a2+...+1/an)2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均家散钟门还慢互停数:An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数:Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。
均值不等式的简介
概念:1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数:Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平然答路持官均数满足Hn≤Gn≤装轮烈态衣殖An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式:设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))则有:当r注意到Hn找去械星冲≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2世执重何女刻常)由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)责助毫互殖跟查室值失≤√ab≤(a+b)/2≤移滑短板格间√〔(a^2+b^2)/2〕
充求色溶团甚油怀写终兴均值不等式的变形
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=势书紧发b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*经层想b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负市建货实数a,b，有a令步务图度笑女林最磁观+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有表稳排权花形稳冲编a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)世物哪对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)行盟测讨答就有费使部^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^轴包倍束土2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
均值不等式的证明
方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理:设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。注:引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。原题等价于:((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。当n=2时易证;假设当n=k时命题成立，即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。设s=a1+a2+…+ak，{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)={s/k+[ka(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[ka(k+1)-s]/k(k+1)用引理=(s/k)^k*a(k+1)≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式:上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有:f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
均值不等式的应用
例一证明不等式:2√x≥3-1/x(x>0)证明:2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解:设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解:设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16
