jacky
问题补充说明：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）．给出以下命题：①当x＜0时，f（x）=ex（x+1）； ②函数f（x）有五个零点；③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）≤m≤f（2）；④对?x1，x2∈R，|f（x2）-f（x1）|＜2恒成立．其中正确命题的序号是（ ）A．①④B．①③C．②③D．③④
①因为函数f（长钢x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e-x（x-1），
设x＜0，则-x＞0，所以-f（x）=f（-x）=ex（-x-1），即f（x）=ex（x+1），故①正确；
②360问答对x＜0时的解析式求导数可得，f′（x）=ex（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增演沉，
x=-2处为极小值点，且f（-2）=-e-2＞-1拉朝回升改笑步，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故 ②错误；
③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是-1＜m＜1，故③错误；
④由于函数-1＜f（x）＜1，故有?x1，x2∈R，|f（x2）-f（x1）|＜2恒成立，即④正确．
故正确的命题为①④．
故选：A．
